第一节 数学学科知识类型与学习方式
一、数学知识的分类
现代认知派心理学家将知识分为陈述性知识与程序性知识两大类。所谓陈述性知识，是指关于“是什么”的知识，它的基本形式是命题，许多命题相互联系形成的命题集合成为命题网络。所谓程序性知识，是指完成某项任务的一系列操作程序，我国学者莫雷认为该分类的出发点为不同形式的知识在人的大脑中的形成、表征、储存、激活的性质和特点，以及知识形式的心理特征，而忽视了知识内容的心理特征。为此，他提出对知识分类的“陈述—程序”与“联结—运算”两维分类模式，并将知识分为以下类型（见表12-1）。
表12-1 知识二维分类模式[1]
根据数学知识内容的特征，有学者将数学知识的分为陈述性知识与程序性知识，而程序性知识又包括智慧技能与认知策略[2]。从教学内容角度，我们将数学知识的形态进行如下分类：
（一）数学概念
数学概念可分为日常概念与科学概念。日常概念也称自发概念，即日常生活中通过辨别学习、积累经验而成的概念，它一般产生于日常生活与无意识活动。科学概念则是指定义明确、有一定逻辑意义和体系的概念。日常概念与科学概念在教学中常常是相辅相成的，有些科学概念可以而且也必须借助于日常概念来学习，比如，集合中的直线、平面等概念。数学概念按其反映事物属性的类别可分为：反映数学基本元素的概念，如自然数、三角形等；反映数学对象间关系的概念，如全等、平行、包含等，它们是对两个或两个以上数学对象之间联系或关系的表达；反映对象特性的概念，如周期性、单调性等，它们表征着数学元素所具有的某种性质。
（二）数学命题
数学命题是指表示概念具有某性质或概念之间具有某种关系的判断。在数学课程中，数学命题分为公理与定理。公理是根据实践的结果或逻辑体系的需要而不需证明就确认其正确性的原始命题。比如，欧氏几何中的平行公理。定理是在原始命题基础上经过逻辑推理得到确认的真实性命题。普通高中数学课程选择其中的一些反映数学基本事实且具有一定认识功能、逻辑功能、使用功能的命题，构成教材中的公式或定理。如立体几何中的直线与平面平行的判定定理、性质定理，解三角形中的正弦定理、余弦定理，数列中的等差数列通项公式、求和公式，三角函数中的诱导公式、两角和与差的正余弦公式等。
（三）数学思想方法
数学思想方法堪称数学的灵魂与精髓，中学数学内容处处闪耀着数学思想方法的光辉。数学思想是数学的基本观点和精髓，是对数学知识、方法的根本认识，它是一种内隐的数学知识。而数学方法则是外显的，它是数学活动中处理问题的具体途径、方式与手段，是数学思想的具体应用。数学思想融会在数学方法中，数学方法又以数学思想为指导，有时还可升华为数学思想，两者的区分是相对的。比如，消元化简是数学中常用的思想方法，解三角形问题中同一个三角形中有三条边、三个角，但是这些边角之间可以借助正余弦定理进行相互转化，从而达到消元减量、化简结构。再如，函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，学生可以通过建立函数关系、构造函数，运用函数的图象与性质去解决问题。尤其在遇到最值问题时，函数思想尤为重要。方程思想就是分析问题中出现的变量间的等量关系，建立方程或方程组从而解决问题。另外，数形结合思想也贯穿于整个高中数学，如平面向量知识中常会用到。由于平面向量几何表示以及三角形、平行四边形的运算法则让向量具备形的特征。而平面向量的坐标表示又让向量具备数的特征，在平面向量问题解决过程中，要充分发掘问题的图形含义与坐标特征，数形结合，在知识的学习、问题的解决过程中渗透数形结合的思想。
（四）数学史知识
数学史是指数学的发展史、创造史、演变史，同时也是人类的认识史、发明史、创造史。数学史中蕴涵着丰富的内容、思想方法等财富可供后人借鉴。我国数学教育已经意识到这一点，在高中数学课程中，数学史已被列为选修课。数学史这颗夜明珠上的灰尘正逐渐被拭去，开始闪耀它璀璨的光芒，成为数学知识中的一个闪亮部分。普通高中课程标准实验教科书的必修教材（以下简称教材）[3]中有许多关于数学史阅读的素材。如教材必修2中三视图部分“艺术家的透视法·年希尧的《视学》”、常见几何体的表面积与体积部分的“祖暅原理”、平面解析几何初步部分的“解析几何的产生”、教材必修3算法案例部分的“孙子剩余定理”、“辗转相除法”，教材必修4中正切、余切等三角函数的由来等。
（五）数学元认知知识
元认知即以认知过程与结果为对象的知识及调节认知过程的认知活动。数学元认知将正在进行的认知活动作为意识对象，不断地对其进行积极、自觉的监视、控制和调节。数学学习活动不仅是对所学数学材料的感知、理解的过程，同时也是一个对感知进行监控的过程。因此，学生对自己的数学学习过程成为数学知识的一个有机组成部分。数学学习的元认知可以提高学生数学学习的计划性，增进对所学内容的理解以及对多种途径的选择，加深思维严密性以及对数学语言、符号及具体数学材料的理解，提升数学的综合素质。
笔者在教学过程中经常发现一些学生由于元认知不足导致数学学习困难的个例。如有些学生对自身的知识结构与能力结构没有清晰、准确的认识，他们当中一部分过低估计自身数学学习能力，经常认为自己“天生学不好数学”（学生语），从而进入越不学越差、越差越不学的恶性循环。他们当中也有一部分认为自己“聪明，脑袋灵活”（学生语），因此在学习过程中粗枝大叶、不求甚解，从而在学习上得不到提升。还有一部分学生对于自己数学知识习得、数学问题解决过程没有反思的习惯，典型表现为同样或类似的错误重复发生等。总之，学生在数学知识或者数学学习能力的元认知上的不足与数学学习的状况有着十分密切的联系。
二、数学学习方式的选择
不同类型的数学知识有着各自的特点，这些特点制约了数学学习方式的选择。
（一）数学概念的学习方式
数学概念的学习既是对数学概念本身的理解，同时也是对数学概念形成过程的把握。数学概念是一个具有层次结构的系统。每个概念都是数学某结构中的具体元素，概念之间相互关联，形成了一个个层次结构。比如，“四边形—平行四边形—矩形—正方形”。数学概念的学习方式主要有：
1.原型启发，概念形成
一般来说，学生对于数学概念的获得通常首先来源于感性认识，即来源于学生观察自己所熟悉的日常生活与生产实际中的现实模型及其抽象。概念中的一些原始概念，学生只能通过实例来理解其内涵，比如，平面几何中的点、线、面，学生只需观察桌子边沿、桌面等实物并在头脑中进行抽象就可形成这些概念。因此，数学概念的获得不仅需要理性的分析，也需要具体数学事例或生活事例的说明。如函数的奇偶性反映的是函数图象的对称特征，可以同列举蝴蝶、花朵、某些容器的设计来提供对称的现实原型。
以幂函数的概念为例，教学实录如下：
【案例1】
T：请同学们回答下列问题
（PPT展示）1.若正方形边长为a，则面积S关于a的函数关系式为______
2.若正方形边长为a，体积为V，则体积V关于边长a的函数关系式为______
3.若一个数总是另一个数的倒数，则关于的函数关系式为______
S1：S=a2；
S2：V=a3；
T：很好，不过我们习惯把自变量用表达，因变量用表示，那么这几个函数有什么共同的地方。
S4：我觉得都是的次方形式。
T：对，一般地，我们将形如y=xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，y是因变量。
上例教学中教师给出的几个例子都是学生非常熟悉的函数，只是学生之前还不知道幂函数这一概念。通过对这三个函数的观察有利于学生概括解析式形式的共性，从而得到幂函数的形式化定义。
概念形成过程实质上是抽象出某一类对象或事物的共同本质特征的过程。[4]在学生归纳事物的共同属性形成概念的过程中，教师要展示数量合适的正例，以恰当的语言引导学生进行自主观察、分析、概括活动，并在学生掌握概念后提供变式（反例）进行辨析，并与原有的概念结构进行对比联系，将新概念纳入到已有的概念系统中去。
4.意义接受，概念同化
随着学生年龄的增加，知识水平的提高，学生掌握知识的广度与深度不断提高。概念同化逐渐成为他们获得概念的主要形式。在学生对新概念有意义同化的过程中，学生的认知结构中必须具备同化新概念的适当知识。这样，学生才能积极主动地将新概念与自己认知结构中的有关概念建立联系，并进一步融会贯通。
以直线的斜率这一概念的习得为例，教学实录如下：
【案例2】
T：（PPT给出两坡度不同的斜坡图片，如图12-1所示）这两个斜坡有什么不同？
图12-1
SS：陡峭程度不同。
T：对，那我们用什么样的量来精确描述这两个斜坡的陡峭程度。
SS：坡度。
T：很好，那我们可以测量斜坡的那些量来计算斜坡的坡度。
S1：我们可以先测量斜坡的高度与宽度，用高度除以宽度就得到坡度。
T：我们可以用斜坡的高度与宽度的比值来刻画斜坡的坡度，通过计算我们可以得到这两个斜坡的坡度分别是多少？
SS：左边的是0.3，右边的是1。
T：通过计算与观察，我们知道坡度越大，斜坡越陡；不过这个陡峭程度是相对于地面而言的。现在将斜坡抽象成一条直线，我们能不能用类似的方法来研究一条直线的陡峭程度呢？
S2：我觉得可以在直线上取两个点，构造直角三角形，用高度比宽度。
T：非常好，那直线的倾斜程度不同是相对什么而言的？
SS：相对于水平线。
（1）直线l1，过点（0，0），（2，1），l1倾斜程度如何刻画？
（2）直线l2，过点（0，0），（-2，1），l2倾斜程度如何刻画？
T：那你觉得应该是多少？为什么？
T：这就有点类似于物理中的加速度，能不能说说加速度的定义。
T：那类比到数学中，这里倾斜程度可以用什么样的比值来表示。
……
直线的斜率是解析几何的开篇之作，是学生进入平面解析几何时初步的第一个概念。用斜率这一代数比值来表示一条直线的倾斜程度这一几何直观，是解析几何中用代数方法研究几何问题的最早体现。而物理中的坡度则有着几何图形与代数形式的双重对应。利用斜坡可以抽象出直线图形，利用坡度的计算可以类比出斜率的比值形式。
数学概念接受学习，一般要经历以下几个阶段：
（1）给出定义、名称、符号。如对数函数定义为“一般地，函数y=logax（a＞0，a≠1）叫做对数函数”。
（3）使新概念与已有相关概念建立联系，将新概念纳入概念系统。如将对数函数与函数、指数函数概念进行比较。
（4）利用肯定例证与否定例证进行辨析，强化新概念的属性特征。
（二）数学命题的学习方式
1.数学公式的学习
数学公式是一类用纯数学符号表达概念之间数量关系且在一定范围内恒成立的数学命题。[5]数学公式中的数学符号一般有四类：元素符号如5，⊿等；操作符号如+，×等；关系符号如≈，≌，＞，⊥等；辅助符号如（），｛｝等。数学公式就是这些符号的有限意义序列，它具有符号化与网络化的特点。符号化即数学公式是用纯数学符号与关系符号表示的，是形式化的表达。网络化即数学公式往往呈组群面貌。群组内部成员相互派生，或相互并列，或呈总括关系。在高中阶段的数学公式学习中，主要有两种学习方式：
（1）问题创设，发现学习
公式学习是一种规则学习，这是上位学习的一种形式（又称发现学习），即从例子到规则的学习。数学公式的教学中，以问题为出发点是首要的一种方式。因为数学公式的产生往往建立在解决问题的基础上；同时，难度适当问题引起的认知冲突可以激发学生的学习兴趣与思维的积极性。在学生掌握一定数学知识的前提下，教师通过设计由浅入深、由易到难的问题系列，引导学生思考与总结，并得出相应公式。
以三角函数诱导公式推导及简单应用为例，教学片断如下：
【案例3】
片断一：
T：同学们，在前面的学习当中，咱们已经将角的概念由锐角扩充到任意角了，而且也已经知道了任意角三角函数的定义。那么，任意角三角函数值怎么去求呢？咱们先来看问题1：求出390°的正弦值、余弦值（PPT出示）请同学们思考。
图12-2
T：那么和30°角终边相同的角的同名三角函数值都相等吗？S2：相等。终边相同的角计算三角函数值时都可以取终边与单位圆的交点，结果相同。
片断二：
T：如果两个角的同名三角函数值相等，它们的终边一定相同吗？请思考问题2：你能找到和30°角的正弦值相等，但终边不同的角吗？（PPT出示）
T：非常好，这两个角的数量间有什么关系，它们角的终边间有什么关系？
S4：30°+150°= 180°，它们的终边关于y轴对称。
T：那就有sin（180°-30°）=sin30°。同学们思考，式子中的30°用α替换是否成立？
S5：任作一个角的终边与单位圆交于P，作终边关于y轴的对称线与单位圆的交点P′，P与P′纵坐标相同，（如图12-3）这两个终边表示的角的正弦值相同。（教师几何画板展示）
T：很好，总结一下，刚才我们怎么得到公式的。
S8：先作单位圆，找到α与180°-α的终边与单位圆交点，它们关于y轴对称，那么横坐标互为相反数，纵坐标相同，就有了正弦值、余弦值的关系，正切可由余弦与正弦得到。
T：非常好，我们得到如下的关系转化图。
（板书）角的关系→对称关系→坐标关系→三角函数值间关系
下面同学们沿着这个思路，找找还有哪些角的终边在坐标系中有特殊的对称关系，它们的同名三角函数值有没有特殊的对应关系？
S9：（板演，作答）我研究的关于x轴对称 ，如果在第一象限，关于x轴对称的角就在第四象限，可以用来-α表示，这时P′点横坐标与P点相同，纵坐标互为相反数，（如图12-4）就可得到sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα
图12-3
图12-4
三角函数的诱导公式是具有相关并列关系的公式群，相互之间结构类似，若通过死记硬背往往容易产生混淆。本例中通过师生合作找到了研究公式的共同出发点——图形中终边的对称关系。从单位圆这一公共图形中开辟了一条相同的研究方法。学生通过自主探究，经历从数量关系到图形关系再到数量关系之间的相互转化，从而生成新的公式。同时，在公式记忆时，学生可将公式的代数映像转换为视觉映像，使抽象的数学知识形象化。在整个学习过程中，学生能主动用所掌握的知识进行师生、生生间的交流，由此学生数学学习能力与学习自信心得到增强。
引导学生进行公式的发现学习时，教师要注意以下几点。
①关注学生已有的知识基础。本课以390°的正弦值、余弦值这个看似简单的问题激发学生对于任意角与常用角的同名三角函数值之间关系的探讨，使诱导公式的出现自然、不突兀。
②合理指导学生去发现问题，如设计问题系列引导学生思考。
③组织学生讨论。师生、生生之间都有信息交流。发现必须是学生的发现，因此组织学生进行讨论有助于拓展学生的思路、增强学生学习的自信心。
（2）意义接受，重在运用
这是下位学习的一种形式（又称接受学习）。即教师直接给出公式，学生通过从公式到运用的学习，迅速习得相关公式。如分数指数幂的运算法则asat=as+t，（as）t=ast，（ab）t=atbt直接由整数指数幂的运算公式保持得到，并不进行重新探索、推导。再如，统计中利用最小二乘法求线性回归方程的公式，只要求学生掌握公式的计算方法。在运算公式展示后，教师只需设计由浅入深的例题，学生通过适当训练即可达到熟练程度。
2.数学定理的学习
定理是经过证明而肯定其正确性的结论。定理教学与公式教学同属于规则教学。因此其主要学习方式也有两种，即从例子到规则的发现学习与从规则到例子的接受学习。
（1）实验操作，发现学习
高中数学定理的呈现都是尽可能以丰富多彩的形式给出，引导学生通过猜想、讨论、试验、归纳等方式来自己探究、发现定理的内容，激发学生探究未知的好奇心，引发他们主动解决问题的兴趣。定理学习不仅仅是学习定理本身，还要主动思考定理的逆定理，将定理的条件或结论进行否定、部分否定、增减等变化来判断其真假，并寻求相应的实例，再从各个角度去剖析定理，以达到对定理的真正理解。
以直线与平面垂直的判定定理为例，教学片断如下：
【案例4】
片断一：
T：请同学们拿出三角形的纸片，给纸片的三个顶点标上字母A、B、C（如图12-5所示），下面我们来做一个实验，请同学们过△ABC的顶点A与BC边上一点D翻折纸片，得到折痕AD。将翻折后的纸片竖起来放在桌面上，（BD、DC与桌面接触，如图12-6），同学们能否判断折痕AD与桌面的位置关系？
图12-5
图12-6
SS：（操作后回答）AD与桌面相交。
T：前面我们已经学习了直线与平面相交的一种特殊情况——直线与平面垂直。同学们能尝试折一折使得折痕AD与桌面垂直吗？（学生操作，尝试）
S1：我发现只要AD是BC边上的高，折出来后AD与桌面是垂直的。（如图12-7）
图12-7
片断二：
T：根据同学们的翻折过程，我们就得到了AD⊥桌面，那直线与平面垂直的定义是什么？
S2：直线与平面内任一条直线垂直就称为直线与平面垂直。
T：那要想证明直线与平面垂直你得证明什么？
S2：直线与平面内任一条直线垂直。
T：好，同学们现在来看一看我们得到折痕AD⊥桌面的条件是什么？
S3：AD⊥BD，AD⊥CD。
T：那这两个判断过程一致吗？
S4：不太一样，定义需要任一条直线，但是我们的实验只需要两条就够了，和定义不一样，但是，我觉得我们的实验没有错啊。
T：讲的很好，定义需要我们判断AD与桌面内任一条直线垂直，但是我们只找到AD与平面内的BD、CD两条直线垂直，同学们又觉得我们自己的实验结论是正确的。那下面，我们就要看看，能不能从我们的实验过程中推导出定义，如果能，我们就不仅能从直观上得到直线与平面垂直，还能从逻辑上得到直线与平面垂直。现在，同学们观察，我们能不能由AD⊥BD，AD⊥CD推出AD与桌面内任意一条直线垂直。
S5：可以将BD和CD贴着桌面绕着AD旋转，转过的每一条线和AD都是垂直的（如图12-8），这样AD就与桌面内任以一条直线都垂直。
（文中T代指教师，SS代指学生集体回答，S1、S2等代指依次回答问题的学生）
图12-8
高中新课标在立体几何模块中要求学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对空间图形的观察、实验、操作和思辨，了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，其中“线面平行、垂直关系的判定定理只要求直观感知、操作确认”[6]也就是直线与平面垂直的判定定理只要求学生进行合情推理。那么如何在本课中让学生操作确认才能归纳判定定理，如何在不对定理证明的前提下让学生进行合情推理。在本案例中，从教材中折纸实验的素材出发，通过一系列问题引导，给学生提供动手操作的机会，引导学生通过自己的观察、操作等活动获得正确的数学结论。同时，也让学生在操作过程中进行解释、说理，建立判定与定义的有效联系，从中感受逻辑推理的成分。接下来两个辨析是改变定理的条件，对条件进行增减，进一步判断得到的新命题是否正确。学生经过这一过程的操作认知，更加明确定理运用的条件，为利用判定定理进行线面垂直关系的判断提供坚实基础。
（2）直观感知，意义接受
在高中数学中，有些定理、公理来源于生产生活实际，是人们经过长期的观察与实践总结出的基本性质，这类定理或公理只需学生接受理解即可。如平面的基本性质中的公理一是“如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内”。
（三）数学思想方法的学习方式
1.数学思想的学习
整个中学数学的内容中无处不包含着丰富的数学思想。有以相关数学概念为内容背景的概念型数学思想，如函数思想、方程思想、集合思想。有用于解题方法的选择与运用的方法型数学思想，如分类思想、转化思想、归纳思想。有帮助人们形成较高层次的数学观点、意识、精神、结构的结构性数学思想，如公理化思想、模式化思想、简约化思想等。下面以一道习题的解决为例谈一谈转化思想。
已知复数z满足2|z-3-3i|=|z|，求|z|的最大值与最小值。其转化途径如下：
（1）复数问题实数化：令z=a+bi，
即 x2+y2-8（x+y）+24=0
（3）复数问题三角化：令z=r（cosθ+isinθ），则r2-8r（cosθ+sinθ）+24=0
2.数学方法的学习
中学数学学习的方法很多，大致可分为：给人们如何思考、探索、发现的逻辑思维方法，包括一般化、特殊化、归纳、类比等；有较为固定的操作步骤的操作程序方法，包括待定系数法、配方法、数学归纳法等；解法奇妙的技巧性方法；非常规方法。
对于数学思想方法的获得，不可一蹴而就，也不可简单依赖于教师的介绍与强调。波拉尼确信：“我们有知道远远超过我们能告知的东西的力量。”[7]作为联结数学各知识模块的一条暗线，数学思想方法反映着知识间内在的联系，常常隐藏在知识的背后，需要学生分析、提炼、概括才能得到。数学思想方法渗透在每个知识点、每节课中，学生在数学活动以及数学问题的解决过程中，需要反复体验、实践、探索。如本章案例1中，从特殊函数到一般的幂函数定义是归纳。案例2中，从斜坡到直线是图形的类比，从坡度、加速度到斜率是代数式类比。案例2、案例3、案例4中则都蕴涵着转化的思想。案例2中将图形语言转化为代数语言，用代数方法去解决几何问题。案例3中将角间关系转化为终边对称关系，再转化为坐标关系，最终得到同名三角函数值的关系，这又是图形关系与数量关系之间的相互转化。案例4中，直线与平面垂直的判定从最初的定义到判定定理，这是从“无限”到“有限”，从繁到简的转化。
学生头脑中的数学思想方法是在数学学习过程中逐渐形成的，是随着数学概念、公式、定理的掌握而逐渐发展的。教师必须结合具体内容，有意识地安排教学，促使学生反复练习，使得数学思想方法转化为学生个体的经验和习惯。
（四）数学史知识的学习方式
我国著名数学家吴文俊认为：“假如你对数学史的历史发展，对一个领域的产生和发展，对于一个理论的兴旺和衰弱，对一个概念的来龙去脉，对一种重要思想的产生和影响等许多历史因素都弄清了，我想对数学就会了解得多，对数学的现状就会知道得更清楚、更深刻，还可以对数学的未来起一种指导作用。”[8]由此可见，数学史知识有着强大的教育功能。
1.数学故事的学习
数学史上鲜活的故事能进入学生的知识结构，成为学生提取相关内容的导引线。比如，在讲勾股定理时，不妨告诉学生勾股定理也叫“百牛定理”。相传大数学家毕达哥拉斯发现勾股定理后欣喜若狂，他为了庆祝这一发现就宰杀了一百头牛用于祭祀与狂欢，“百牛定理”因此得名。生动有趣的数学故事能激发起学生的学习热情，促使他们对数学知识进行意义建构。
2.数学思维的学习
历史上任何数学成果的发现并不是我们在教科书中看到的那样自然、完美，它们从萌芽到成熟的过程曲折而布满荆棘。但教科书却反其道而行之，从结论到证明再到例题，尽管有助于学生对系统知识的掌握，但也遮蔽了曾存在过的那些生动活泼的思维的活动。因此，给学生讲述历史上数学家们的思维活动过程，引导学生展开积极的思维活动，可以促使学生掌握数学的思维方法，从而提高学生数学学习的质量。
3.数学精神的学习
数学史的学习更在于领悟数学家的创新精神、求真精神和坚持不懈的求知精神。比如，在讲平面几何时，我们要让学生知道，从人们对欧氏几何第五公设的怀疑到非欧几何的诞生竟绵延了两千多年。其间多少知名或不知名的数学家付出了我们难以想象的努力，他们独立探索、互相讨论，支撑着他们的就是勇于探索、孜孜不倦的求知精神。我国古代数学如《孙子算经》中的中国剩余定理，《海岛算经》中的诸多测量实例等也无不体现出我国古代数学家的聪明才智，值得我们去尊重与敬仰。
数学史知识的学习不能满足于把数学典故当成博人一笑的故事，更不能作为任务死记硬背。数学史知识的学习需要学生投入真实的感情，将老师所讲的内容纳入自己的情感结构中，真正理解数学故事背后所包含的深层含义。对数学史的学习也不能只限于课堂，学生可以自主查找资料、相互交流，体会数学史内部隐藏的精神、态度，以获得数学知识的真谛。
（五）数学元认知知识的学习方式
数学元认知应贯穿于数学学习的始终。学习前，学生首先要结合已有知识对面临的数学任务、数学问题在头脑中判断、分析，找出各种可能解决问题的方法与途径，并加以权衡，选择出个体认为最有效的方法。数学活动中，要求学生思维过程灵活、思维路径清晰，能在学习过程中引导学生及时发现不足并能立即做出修正、调整。在活动后，对自己在整个活动中的表现、所得结论、涉及的数学内容以及使用的思维策略、隐含的数学思想都要反思、回顾，总结成功的经验，吸取失败教训，以提高学生解决问题的能力。
由于数学元认知的统摄作用，教师不能任由学生在黑暗中摸索，而是要有意识地引导学生在学习的各环节进行适当的反思、总结。如案例2中，教师在每组公式的推导后都引导学生进行回顾，总结，体会公式推导过程中的转化思想。数学学习也应该是学生积极主动开展的过程，学生要下意识的进行自我监控，在数学解题活动中提升自身的数学元认知水平，从而优化数学认知结构，提高思维的灵活性与创新意识。为此，教师可从以下几个方面入手：
1.及时帮助学生分析数学思维过程，引导学生对问题进行变式推广
如学生解“已知x，y满足x2+y2+4y+4≤0，求x+2y的取值范围”时，可能会有意识将条件转换为圆面，将待求对象转换为直线系x+2y=t，从而将代数问题转换为几何问题。此时，教师要能及时抓住学生的思维闪光点，加强对思维过程的监控，在掌握具体方法的同时，对具体方法进行再加工，从中提炼出该方法适用的情景，实现从特殊向一般的推广。
2.引导学生评价解题过程，寻找解决问题的最佳途径
学生在解题时往往满足于做出题目，不习惯于评价解题方法。因此，教师必须引导学生评价自己的解题方法，并鼓励学生交流各自的解题方法，在讨论中优化解题过程，提高思维水平与层次。
3.帮助学生剖析错误原因，总结成功经验
教师应当结合学生的不足与成功之处，引导学生对此思考、总结，给学生提供一个对基础知识、概念、原理重新理解的机会，让学生在纠错与提炼经验的过程中深化对知识的理解。
[1] 莫雷.知识的类型与学习过程.课程·教材·教法，1998（5）
[2] 喻平.知识分类与数学教学.数学通报，2000（12）
[3] 普通高中课程标准实验教科书.南京：江苏教育出版社，2007
[4] 曹才翰，章建跃.数学教育心理学. 北京：北京师范大学出版社，2006：106
[5] 季素月.数学教学概论.南京：东南大学出版社，2000：80
[6] 江苏省教育科学研究院课程教材研究中心，江苏省中小学教学研究室.普通高中课程标准教学要求.南京：江苏教育出版社，2007：35
[7] 波拉尼.缄默的知识∥瞿堡奎.教育学文集·智育.北京：人民教育出版社，1993：118
[8] 吴文俊.在教育部的全国高校中外数学史讲习班开学典礼的讲话∥中国数学史论文集（二）.济南：山东教育出版社，1986：2-3