19-1 对“生女孩”的案例进行更准确的推理
在上一讲的基础之上，下面，我们开始解说使用了贝塔分布的贝叶斯推理过程。
这一次，我们依然使用第4讲中的例子——“若某对夫妇生的第一胎为女孩，那么第二胎依然为女孩的概率是多少”这个问题。第4讲中的推理，是在相当不充分的设定之下进行的。这是由于，在设定这对夫妇“生女孩的概率”的类别时，只考虑了0.4、0.5、0.6这3种情况，但并没有给出为何只设定这3种情况的相关证据。而实际上，大于0且小于1的所有数值都可以设为“生女孩的概率”。在学习第4讲时，我们只能做到为有限个数的类别设定先验概率；而现在，我们已经学会了处理连续型的概率分布，那么，也就可以在自然状态的设定下，进行贝叶斯推理。本讲中将会使用贝塔分布，来完成上述推理过程。
19-2 设定先验分布为均匀分布，并进行推理
把某对夫妇生女孩的概率设为x。x表示这对夫妇的“类别”。由于类别是未知的，所以将其作为推理的对象。
虽然我们知道，类别x一定是一个大于0且小于1的数值，但并不知道具体的数值。因此，需要设定每一类别分别对应何种程度的先验概率。当x分为3种情况时，设定各x的数值为事前“概率”是完全没问题的。但在本次推理中，x可以有连续无限个数值，因此设定的数值为“概率密度”（第16讲中对于“概率密度”这一概念已经进行了解说）。把各个类别的可能性的设定为概率密度时，称为“先验分布”。
在这里，暂且把表示x的先验分布的概率分布，假设为均匀分布。
这意味着，不管该夫妇所属的类别x为何种可能性，都假定其相等（大致相同）。也许有的读者会不理解这样进行假设的原因，认为“x在接近0或接近1的情况下，与接近0.5的情况下，结果是相等的”这样的设定不合逻辑。这是一个合理的疑问。在下一节中，将会以能够解答这个疑问的先验分布为例，来进行解说。而作为学习的出发点，首先我们来一起思考均匀分布的先验分布。
关于类别x（x为某对夫妇生女孩的概率）的先验分布，设定如下：
y＝1 （0≤x≤1）
在图表19-1中，先验分布即为x轴上方的部分。
图表19-1 类别为均匀分布的情况
接下来，x轴的下方的长方形，可以对应第4讲的图表4-3的长方形分割图，也就是划分出互不相同的几种可能性。在图表4-3中，划分了6个长方形，但在图表19-1中，划分为无数条线段（AB或BC即为其中的1条）。
从有限变成无限的情形，如图表19-2所示。
图表19-2 从有限到无限
那么，接下来可以这样分析图表19-1：例如，图中的x＝0.7（点A）表示该夫妇的类别为0.7，换言之，表示“这对夫妇生女孩的概率”为0.7这样一种可能性。因此，这对夫妇生的第一胎为女孩（这样一种可能性）的概率密度为0.7，用线段AB来表示。那么，生男孩的概率密度自然为0.3，用线段BC的长度来表示。实际上，这里采用了“＆的事件的概率法则”（见15-3）。换言之，表示为：
（AB的长度）＝（类别是x＝0.7的概率密度）×（类别在x＝0.7的基础上，生女孩的概率）
＝（x＝0.7时的y）×p（女孩|x＝0.7）
＝1×0.7
＝0.7
在19-3之后，这个问题将成为基本的知识点。
假设我们获得了“这对夫妇生的第一胎为女孩”这样一条信息吧。那么，就可以把图表19-1中涂有颜色中的浅色部分的线段（生男孩的可能性）排除在外，只留下涂有颜色中的深色部分的线段（生女孩的可能性），如图表19-3所示。
图表19-3 排除生男孩的可能性
排除掉生男孩后的可能性之后，便不符合标准化条件（所有事件的概率之和为1）了。由于表示生女孩这种可能性（涂有颜色的深色部分的三角形）的面积为0.5，那么，为了把它的面积变为1，需要在保持各线段的比例关系的同时，变更概率密度。只要把每条线段延长到之前的2倍，就能满足标准化条件了（三角形的高度变为之前的2倍）。图表19-3的右侧部分，表示这一步骤完成之后的状态——把左侧的x轴下方的部分翻转过来，再纵向延伸到之前长度的2倍。需要注意的是，右侧部分的图像即为贝塔分布的α＝2、β＝1的情况（见17-4）。这个是在获得了“该夫妇生的第一胎是女孩”这条信息时，关于这对夫妇的类别x的后验分布。同时还需注意的是，它表示的不是后验概率，而是后验分布。这是因为，分布图表示的是概率密度。后验分布如图表19-4所示。
图表19-4 先验分布和后验分布
看图可知，虽然关于该夫妇生第一胎之前的类别x的先验分布，为均匀分布（无论哪种类别x，结果都是相同的）。但在获得了“第一胎为女孩”的信息之后，关于类别x的后验分布，就变更为z＝2x这样的贝塔分布了。这意味着，类别x的后验概率密度，是随着x的增大而增大的。
19-3 第二胎依然为女孩时的推理
为了帮助大家了解采用贝塔分布的优势，下面我们针对该夫妇生的第二胎依然女孩的情况，进行贝叶斯推理。
由于关于类别的先验分布为均匀分布，那么，可以通过两胎连续生女孩的情况设定，来计算结果。而根据第12讲中解说的“贝叶斯推理的序贯理性”这一性质（见12-4），把上一节中求出的后验分布（z＝2x）再次设定为先验分布，并在此基础上，根据“这对夫妇再次生了女孩”的信息，可以得出后验分布是相等的结论。那么，下面我们就用这个方法进行贝叶斯推理吧。
图表19-5 先验分布和后验分布
首先看图表19-5的左侧部分：x轴上方的部分表示先验分布，如设定一样，贝塔分布为y＝2x。下方则表示，在获得“该夫妇生了女孩”的信息之后，各种可能性的划分。先说明结论：下图中涂有颜色部分的界限曲线为抛物线
z＝2x2 …（1）
该抛物线上方涂有颜色的部分，表示该夫妇在类别x的情况下生女孩的概率密度。此外，该夫妇在类别x的情况下，生男孩的概率密度为直线OF和抛物线（1）围成的部分。
第15讲中已经进行了解说：该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为（1）式，是依据“＆的事件的概率法则”。由于该夫妇在类别x的情况下，生女孩的概率密度为x，那么在条件概率p（信息|类别）中，若类别＝“x”、信息＝“女孩”，那么这个概率模型可以设定为：
p＝（女孩|x）＝x
因此，
p（（该夫妇为类别x）＆（类别x的夫妇生了女孩））
＝p（类别x）×p（女孩|x）
＝2x×x
＝2x2
下面，通过图表19-5的右侧部分，来对于“为何概率密度和概率，都能够用乘法运算求出＆的概率密度呢？”的问题进行说明（如果觉得这样的解说很烦琐，可以直接跳过以下内容）。以类别x＝0.7为例：该夫妇的类别0.7这一可能性，近似于x轴上方的小长方形。若把宽度设为d，那么关于以0.7为中心的宽度d的范围的类别x，可以将其概率密度全部视为1.4。那么，该夫妇属于这个长方形（属于这种可能性）的概率为：d×1.4。这里，运用了将概率密度乘以宽度转换为概率的方法。由于属于该情况的夫妇，生女孩的概率为0.7，那么（该夫妇属于类别0.7）＆（类别0.7的夫妇生女孩）这种可能性，便可以认为近似于x轴下方以线段AD为长的长方形。
在这个长方形中，点D处于划分0.7和0.3的比率的位置，因此，这个面积为（d×1.4）×0.7。由此可以计算出AD的长度（除去宽度d）1.4×0.7＝0.98。
之后，根据获得的“第二胎依然为女孩”的信息，可以排除掉图表19-5左侧部分的OF和抛物线（1）围成的部分，只留下抛物线（1）和x轴围成的部分（涂有颜色的部分）。由于这个面积不等于1，因此需要像之前一样，使用标准化条件，使其面积变为1。
这里需要注意的是，二次函数y＝（常数）x2为α＝3、β＝1时的贝塔分布。因此，满足标准化条件的后验分布为：（对于推理来说，“系数为3”并不重要，故此处省略原因）。
y＝3x2 （0≤x≤1）
那么，根据上一讲中的公式，可以求出α＝3、β＝1的贝塔分布的期待值为：
图表19-6 第二胎依然为女孩时的后验分布
19-4 设定先验分布非均匀分布，并进行推理
如19-2中解说的那样，多数人认为，把“某对夫妇生女儿的概率”的先验分布设定为均匀分布，并不十分恰当。这是由于，一般来说很难认为当类别接近0或1时，与接近0.5时的情况是相同的；而最初的设定——接近0.5的类别容易发生，远离0.5的类别难以发生这样的思路则更为普遍。最后，以这种情况为例来进行解说。
此时，可以将先验分布设定为α＝2、β＝2的贝塔分布。正如第17讲中的解说，该分布为：（图表19-7）
y＝6x（1-x）（0≤x≤1）
图表19-7 非均匀贝塔分布的先验分布
在上述先验分布的情况下，离类别0.5越远，其概率密度越小。此时，“类别x的夫妇生女孩”的概率为：
p（（类别x）＆（女孩））
＝p（类别x）×p（女孩|x）
＝6x（1-x）×x
＝6x2（1-x）
因此，实行标准化条件之后，从作为后验分布的贝塔分布中可以求出：（此处省略说明系数为12的理由）
z＝12x2（1-x）
据此，这对夫妇第二胎依然为女孩的概率，可以从贝塔分布的期待值的公式（第18讲）
中推理得出，结果为0.6。因此可以得出，相比于把均匀分布作为先验分布时（推算值约为0.67），推算出生女孩的概率的数值要更接近0.5一些的结论。这个推理应该可以说服大多数人吧。
19-5 在先验分布中运用贝塔分布的原因
读到这里，大家大概应该已经明白，为何把“某对夫妇生女孩的概率”的贝叶斯推理中的先验分布设定为贝塔分布的原因了吧。这是因为，后验分布也恰好为贝塔分布。
生女孩的概率是把类别x的概率密度乘以x，生男孩的概率是用类别x的概率密度乘以（1-x）计算出来的。之后，把类别x的先验分布设定为贝塔分布，就知道后验分布也同样为贝塔分布了。
像这样，对于设定的概率模型，把后验分布设为与先验分布相同的分布，这样的先验分布称为“共轭先验分布”。也就是说，生的是女孩或是男孩，这一概率模型的共轭先验分布，即为贝塔分布。
在贝叶斯推理中存在一个惯例：把想需要推理的概率模型的共轭先验分布作为先验分布来运用。原因有二：
原因1：若把先验分布和后验分布设为相同，那么计算就会变得简单很多。
原因2：若先验分布和后验分布不同，那么从哲学角度来思考的话，会觉得很奇怪。
可以说，以上两种观点的出发点是截然不同的。前者从功能角度出发，而后者是从哲学角度出发的。不过，任何一种（或是两者）都能够帮助我们认同运用共轭先验分布的思维方式吧。
第19讲·小结
1．对于“当某对夫妇生的第一胎为女孩时，第二胎依然为女孩的概率x”进行推算时，把类别设定为0≤x≤1。
2．若把类别x的先验分布设定为均匀分布，那么后验分布为贝塔分布。
3．各种可能性的划分，用p（类别x）×x和p（类别x）×（1-x）进行计算。
4．对于“类别”本身（而不是类别x的概率分布）进行推理时，使用贝塔分布的期待值。
5．共轭先验分布，是为了把先验分布和后验分布统一为同样分布的先验分布。
6．“生的是女孩还是男孩”这一推理的共轭先验分布为贝塔分布。
练习题
答案参见此处
进行一项实验，验证某种药对于某种病症是否有疗效（临床实验）。现在，把药分给10个患者，实验结果为：对于其中4人有效果，6人没有效果。那么此时，根据贝塔分布，用贝叶斯推理对这种药的效果概率进行评价。在下面的（）中填入合适的答案。
把先验分布设为均匀分布，即设为：
y＝（）
此时，在“有效果”的概率密度x的基础上，按照特定的顺序，根据4人有效果、6人没有效果这样的结果概率，可以从4个x和6个（1-x）的乘法运算中得出：
y＝x（）（1-x）（）
因此，根据标准化条件，后验概率的概率分布是可以用合适的常数表示为：
y＝（常数）x（）（1-x）（）
即为α＝（）、β＝（）的贝塔分布。计算该贝塔分布的平均值，为：