18-1 用一个数值来代表概率分布
在贝叶斯推理中，可以计算出各个类别的后验概率。例如，第2讲中，可以根据检查结果呈阳性，计算出“患癌症的后验概率为4.5％”“身体健康的后验概率为95.5％”。如果将患癌症设为数值1、身体健康设为数值0的话，这与在x＝0，1时计算出的概率分布情况相同，因此也可以视为一个问题得到了解决。
但是，第4讲的案例：根据某对夫妇第一胎为女孩的事实，来计算“第二胎也是女孩的后验概率”，这种情况又需要另当别论。第4讲中，将该夫妇生女孩的概率设为“0.4”、“0.5”、“0.6”三种，并计算这三种情况各自的可能性。通过贝叶斯推理得出的结论是：“0.4”的后验概率为27％，“0.5”的后验概率为33％，“0.6”的后验概率为40％。也就是说，设定x＝0.4、0.5、0.6时，计算得出的概率分布分别为0.27、0.33、0.4。但是，上述结论并不能解答“该夫妇第二胎也是女孩的概率”的问题，而是提供一个用数值来回答问题的方法，这个数值就是所谓的“期待值”。第4讲中虽然讲解了期待值的计算方法，但并没有详细说明期待值的含义。现在，我们已经掌握了概率分布的思考方式，所以可以详细地了解一下“期待值”的相关知识。
18-2 期待值的计算方法
下面，通过具体事例来讲解，用一个数值来代表概率分布“期待值”的计算方法。首先，第14讲中关于天气的概率模型为例，其基本事件的集合为：
{晴天，阴天，雨天，雪天}
将其概率分布设定为：
p（{晴天}）＝0.3、p（{阴天}）＝0.4、p（{雨天}）＝0.2、p（{雪天}）＝0.1
为了制作概率分布图，在这里需要将基本事件设为数值。设定天气越恶劣，数值越大，即：
晴天→1、阴天→2、雨天→3、雪天→4
概率分布图如图表18-1所示。
图表18-1 天气的概率分布图
该图表体现了各种天气出现的频率。我们想要了解的是“该地区的天气情况大致如何”的问题，即“如何用一个数值来表示该地区的天气”。这个数值也就是期待值，计算方法如下：
（概率分布的期待值）＝（数值）×（取该数值的概率）的合计
如果将该公式运用到上述天气概率分布的具体例子中，则为：
（天气的概率分布的期待值）＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2.1
具体到概率分布图18-1中，即“横轴数值与纵轴数值乘积的合计”。
如果使用语言来解释得到的结果数值2.1的话，那就是“该地区的天气从阴天轻微偏向雨天”。
在期待值的计算中，（数值）×（得到该数值的概率）这一乘法运算意味着“加权”。例如，数值“3”表示“雨天”，其发生比率占整体的0.2，所以“将3的影响力弱化至0.2倍后再相加”，这种计算方式被称为“加权平均”。
18-3 长期来看，期待值是与实际情况相符的
首先，对期待值的数值含义进行说明。
就上一节中天气的例子来思考，如果设定每天的天气为：
晴天→1、阴天→2、雨天→3、雪天→4
然后进行N天的长期记录，那么，根据概率为：
p（{晴天}）＝0.3、p（{阴天}）＝0.4、p（{雨天}）＝0.2、p（{雪天}）＝0.1
可以得知，晴天大概有0.3N天、阴天大概有0.4N天、雨天大概有0.2N天、雪天大概有0.1N天。因此，记录下的数值之和合计约为：
1×0.3N＋2×0.4N＋3×0.2N＋4×0.1N
＝（1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1）N
＝2.1N
回想一下之前计算出的期待值也是2.1。因此可以得出：
（实际点数的N天量的合计）≈（N个期待值的合计）
也就是说，“如果每天都对期待值进行统计，那么长期来看，结果与实际情况是基本保持一致的”。这意味着“从长期的角度来看，期待值的合计结果与实际情况一致”。以上就是针对“期待值”含义的最直观的说明。
18-4 期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点
以下，针对如何理解期待值的图像进行说明。结论是，期待值可以作为使概率分布图保持平衡的支点。可以使用瓦楞纸板支等制成图表18-2所示的具体天气概率分布图的立体模型，类似两臂平伸姿势的挑担偶人玩具。此时，如果将表示期待值的点作为支点，左右两侧将保持平衡，模型整体会处于稳定状态。
图表18-2 期待值处为平衡支点
能够保持平衡的原因如下：
以m为支点，那么x处的旋转力（专业上称为力矩）为：
（纵轴的高度）×（x-m）
正向的旋转力为顺时针方向，负向的旋转力为逆时针方向。例如，在点1处，逆时针方向的旋转力为0.3×（1-m）。
图表18-3 挑担偶人上的旋转力
“挑担偶人保持平衡稳定的状态”，是指旋转力的和为0（正反两个方向都不受力）。因此，使以下等式成立的m，就是“平衡的支点”。
0.3×（1-m）＋0.4×（2-m）＋0.2×（3-m）＋0.1×（4-m）＝0
该式可转化为，
1×0.3＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝（0.3＋0.4＋0.2＋0.1）m
在进行计算时，根据标准化条件得知，等号右边的括号中各项之和为1，而毫无疑问，等号左边为期待值，即：
（x的期待值）＝m
也就是说，如果将期待值的数值作为支点m，就可以使两侧的旋转力之和为0，实现平衡。这一原理在所有的概率分布中都成立。
18-5 计算掷骰子和生女孩案例中的期待值
我们已经了解了期待值的概念和含义，下面来试着计算以下两个例子中的期待值，并用图来表示。
第一个例子，掷骰子的期待值。基本事件为：
{1，2，3，4，5，6}
概率为：
依据期待值的定义进行计算：
如果沿着“使挑担偶人保持平衡”的思路来思考，甚至不需要进行计算。如图表18-4所示，由于掷骰子的概率分布图是左右对称的，那么在挑担偶人模型中，平衡的支点必须为正中。因此，期待值为3.5。
图表18-4 掷骰子的期待值
下面，我们来回顾一下第4讲中关于“某对夫妇第二胎生女孩的概率”这一案例，来计算该例中的概率分布期待值。
在这个例子中，设定x＝0.4、0.5、0.6时的概率分布为0.27、0.33、0.4。
由此可计算出期待值为：
（x的期待值）＝0.4×0.27＋0.5×0.33＋0.6×0.4＝0.513（见图表4-8）。
我们再思考一下关于该模型的问题：已经该夫妇的第一胎为女儿，那么，设定问题为“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率是0.4？0.5？还是0.6？”之后根据贝叶斯推理，计算出对于0.4、0.5、0.6的后验概率分别为0.27、0.33、0.4。这意味着，“第二胎依然是女孩”的概率为0.4的可能性是0.27，概率为0.5的可能性是0.33，为0.6的可能性是0.4。而这些数值作为“概率的概率”这样一种双重概率，也就是“关于概率的概率分布”。
图表18-5 某夫妇生的第二胎依然是女孩的概率的期待值
虽然我们已经知道了0.4、0.5、0.6这三种概率分别对应的可能性数值，但其实我们真正想要的是“该夫妇生的第二胎依然是女孩的概率究竟是多少”的答案。而对此进行估算时，期待值可以作为一个合适的指标。因为期待值是代表概率分布的数值。因此，根据图表18-5可以进行如下推算：
（第一胎生女孩的夫妇，第二胎依然是女孩的概率）＝0.513
在没有获得任何信息时，认为概率是0.5的想法是妥当的；而在已知第一胎是女孩的情况下，通过贝叶斯推理可以估算出：第二胎依然是女孩的概率要略大于0.5。
18-6 通过贝塔分布来计算期待值
学习完上述知识后，下面我们来思考连续型概率分布的期待值。在连续型概率分布中，由于已经给出了连续无限个数值的概率密度，所以很难通过各个数值来掌握其存在方式，而只有通过图表的形状来把握才比较现实。在这个前提下，能够通过一个数值来代表分布的期待值的作用就更为重要了。
下面以贝塔分布为例，来讲解连续型概率分布期待值的知识点。即便如此，在连续型的情况下，如果要定义并计算其期待值，依然需要进行积分计算，因此本书仅对其结果进行介绍。
第17讲中讲解过，贝塔分布中，将α、β设为大于1的常数，如下所示：
y＝（常数）×xa-1（1-x）β-1 （0≤x≤1）
x为基本事件的数值，y为概率密度。贝塔分布的期待值的公式如下：
具体解说可参照“补讲”部分。
下面，针对第17讲中列举出的贝塔分布，使用该公式计算其期待值，并试着用图表示出来。
首先，α＝β＝1时，贝塔分布的常数函数为：
y＝1 （0≤x≤1）
其期待值为：
由于其概率分布图是左右对称的，所以挑担偶人的支点一定在正中间。
图表18-6 α＝1、β＝1时贝塔分布的期待值
α＝2、β＝1时，贝塔分布的一次函数为
y＝2x（0≤x≤1）
其期待值为：
此时，如果取2/3处作为支点，挑担偶人将保持平衡。观察图表18-7，可以理解其原因。
图表18-7 α＝2、β＝1时贝塔分布的概率分布图
α＝1、β＝2时，贝塔分布的一次函数为
y＝2（1-x）（0≤x≤1）
其期待值为：
我们可以清楚地看到，该图即为上一个例子左右颠倒后的图像。因此，挑担偶人的平衡方式，也与上一个例子呈左右调转状。
图表18-8 α＝1、β＝2时贝塔分布的期待值
α＝2、β＝2时，贝塔分布的二次函数为
y＝6x（1-x）（0≤x≤1）
其期待值为：
该概率分布图为左右对称的抛物线，因此挑担偶人的支点在正中间。
图表18-9 α＝2、β＝2时贝塔分布的期待值
最后，α＝4、β＝3时，贝塔分布的函数为
y＝60x3（1-x）2（0≤x≤1）
其期待值为：
图表18-10 α＝4、β＝3时贝塔分布的期待值
第18讲·小结
1．期待值，即为通过该数值，可以代表概率分布的数值。
2．期待值的计算方法为：（数值）×（取该值时的概率）的合计
3．无数个期待值的合计值，与实际趋于一致。即，（N次计算出的数值的合计）＝（期待值的N倍） 在N的取值足够大的情况下成立。
4．期待值，为挑担人偶型概率分布图保持平衡时的支点。
5．α、β为常数时，贝塔分布的期待值为α/（α＋β）
练习题
答案参见此处
（1）已知：中一等奖10000日元的概率为0.01，中二等奖5000日元的概率为0.03，中三等奖100日元的概率为0.1。则奖金的期待值为：
（）×（）＋（）×（）＋（）×（）＝（）日元
（2）贝塔分布y＝1320x7（1-x）3的期待值为：
专栏 column 何为“主观概率”？
“主观概率”一词并不很常见，但作为关于概率的一种思考方法，有着确切的起源。用数学方法来思考概率问题，是在17世纪法国数学家帕斯卡和费尔马的研究之后才开始的，但“准确性”这一思考方法，在很久之前就已经诞生了。所谓“准确性”，是指“有多大的可信度”“其证据有多大的说服力”等“主观性”的东西。
17世纪，德国数学家莱布尼茨认为，这样的“可信性”“证据能力”，也就是“概率”。同时，莱布尼茨也是一位法学家，他对审判时的推论进行了研究：在审判中，需要用证据来证明被告人的罪行。而此时，被告人有罪一事的“可信性”，就构成了主观概率。
第13讲后的专栏中介绍过20世纪美国的萨维奇，将主观概率设立为明确的数学理论。萨维奇运用的是经济学的传统方法：假设，若事件A发生，可获得1万元的f奖；若事件B发生，可获得1万元的g奖。现在的问题是：你想要哪一种？假设你的回答是f奖。那么经济学上将这个答案记做fg。此时，相比于B，你更相信A的“准确性”，这一点是无疑的。如果将所有的事件都做成上述调查问卷的形式，那么根据你的答案，就可以判断出所有事物的准确性的大小关系，而这个“关系”就可以被定义为“概率”。在刚才的例子中，则显示为p（A）p（B），而这个概率不等式，是根据你的主观判断而得来的。萨维奇主张，像这样得来的便是“主观概率”。