4-1 第一个孩子是女儿，那么下一个孩子是男孩还是女孩？
在第1讲和第2讲中，我们运用了客观的数据来设定先验概率。接下来，在第3讲中，由于没有客观数据可用于先验概率的设定，于是我们主观地设定了先验概率。在第4讲中，将带领大家进一步了解神奇的贝叶斯推理方法。请阅读以下问题设定。
问题设定
假设夫妻俩的第一个孩子是女儿。那么，接下来生的孩子依然是女儿的概率为多少？
也许你会怀疑，上述问题设定是否有实际意义？很多人会觉得，这个设问实在太模糊，以至于让人根本不知该如何作答。换句话说，人们会认为“每一次生男生女的概率各为一半。就算第一个孩子是女儿，但下一个孩子的性别与这根本无关，所以接下来依然是女儿的概率也还是0.5吧”。
事实上，笔者曾经将该问题设定的贝叶斯推理写入某本书，并收到了读者写来的表示反对的邮件。邮件内容是“我的医生朋友说，事实上，并没有容易生男孩、容易生女孩这回事，生男生女的概率都是一样的”。
当然，我知道这位读者想要表达什么，只是我认为，他并没有认真思考那本书的解说内容，他的思考始终处于停滞状态，只是一味地表示反对，对此，我感到有些遗憾。
第一，从统计学观点来看，生男生女的比率并不是各占一半的。事实上，生男孩的比率会稍微高一点。在日本，生男生女的概率比约为51:49。即使具体比率上有所差别，但“男孩的概率高一些”这一特性，是全世界共通的。不管原因如何，在生物学上，男女的出生率有着其固有的结构，因此，不能说这种现象与投硬币有着同等的概率。
第二，那位读者的医生朋友观察的是“关于多数夫妻生下来的多数孩子的样本统计”，而不是“针对某对特定的夫妻所生的孩子进行的统计”。即使人类整体在统计时呈现出51:49这样稳定的比率，但某一对特定夫妻所生孩子是男还是女的问题上，并不一定遵循这个比率。这对夫妻有其固有的特性，因此也不能否定是否存在“生女孩稍微容易一点”或“生男孩稍微容易一点”这种性向的可能性。
标准统计学（又称内曼－皮尔逊统计学）在阐明全人类范围内的男女比例这一性向问题时是有效的，但不能用来解答“特定的某一对夫妻更容易生男孩还是女孩”的问题。这是因为，如果不使用达到一定程度的大量数据，就不能运用标准统计学来推断，关于这一点，在第8讲中会进行详细的解说。理由是，对于某一对特定的夫妻，他们所生的孩子数量，并不足以用来进行统计验证；而且，在生下大量的孩子的过程中，随着年龄的增长，身体条件也会发生变化。
然而，即便是这种对于特定夫妻的生育问题的推断，也可以使用贝叶斯推理来完成。理由在于，贝叶斯推理在某种意义上来讲是一种“宽松”的推断。所谓的“宽松”是指：设定不可思议的先验概率，并且其数值可以是主观性的。关于这一问题设定，下文将按照明贝叶斯推理的独特顺序来进行说明。
4-2 将“概率的概率”设置为“先验概率”
首先，关键的一点在于类别的设置。在本案例中，我们需要设置的类别是“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”，我们用p来记录这一概率。
有的读者可能会条件反射般地认为“概率p难道不应该是0.5吗？”关于这一点，在上节中已经讲过，在统计人类这一整体时，可以认为生男生女出的概率比为1:1（或近似1:1），但具体到某一对特定夫妇身上的话，就未必是这个结果了。
因此，“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p，可以是0到1之间的任意自然数。此时，用于表示该夫妇类别的p的取值范围为0≤p≤1，可取的数值有无限个，并且连续分布。据此可以设置类别p，并进行贝叶斯推理，这项工作的难度较大，具体将在第19讲中解说，本节仅做简要说明。
简单来说，可以设置3个p的值，分别为0.6、0.5、0.4。当然了，只要满足条件0≤p≤1的值都可以选取，并且这样做更加符合常理，而本讲为了让大家理解贝叶斯推理的特质，需要首先保证易于理解的问题，因此，只选取三个数值进行探讨。
现在我们已经将“该夫妇所生的孩子为女孩的概率”p设置为0.6、0.5、0.4这三种可能，那么该夫妇一定属于这三种中的一种。也就是说，当p＝0.6时，该夫妇生女孩的概率为0.6，当p＝0.4时，该夫妇生女孩的概率为0.4。其中，前者说明“该夫妇比较容易生女孩”，后者说明“该夫妇比较容易生男孩”。当然，如果p＝0.5，那么说明“该夫妇生男生女的概率相等，各为0.5”。
下一步要做的与以往相同，就是为这三种类别分别设置先验概率。
在这种情况下，想要判断该夫妇究竟属于哪一个类别，是完全没有任何统计数据来支持的，因此依然采用上一讲中的“理由不充分原理”。如图表4-1所示，设置这三种类别的概率各为1/3。
图表4-1 根据理由不充分原理设置的先验概率
读到这里，作为初学者来说难以理解的一点是：为何设置“p＝0.4的先验概率”的概率为1/3？可以这样理解：p本身就是一个概率，那么，“p＝0.4的先验概率”的概率为1/3，便是“概率的概率”。对于这种思维方式，如果不习惯的话，确实会感到混乱。
理解时的关键是，p代表“生女孩”的概率，而先验概率1/3代表：三种类别的概率p的值，究竟哪一个才是真实的可能性。
换言之，先验概率表示：该夫妇属于哪一个可能世界的概率；概率p表示：该夫妇在各个可能世界中生女孩的概率。也就是说，这两个概率，是不同意义的。
上一讲的观点认为，类别（互不相同的可能世界）与概率是毫无关系的，而本讲中的类别则是通过概率p来表示的。也就是说，该夫妇“生女孩的概率”究竟为0.4？还是0.5？或是0.6？我们无从得知，只能进行推测罢了。于是，运用“理由不充分原理”，将每种情况的先验概率均设置为1/3。
对了，由于从统计学的观点来看待人类整体生男生女的概率问题时，p＝0.5的可能性要远高于其他两种情况，那么，在设置先验分布时，也可以进行适当调整。例如，可以将“生女孩的概率为0.4”和“生女孩的概率为0.6”这两种情况的先验概率均设置为0.2，而“生女孩的概率为0.5”的先验概率则设置为0.6。（关于这一点，可在习题部分进行计算练习）
关于先验概率的设置，有一点与之前的内容略有不同：之前都是设置两个类别，而这次设置了三个类别。如果能够顺利理解本讲内容，那么今后即使设置再多的类别，应该也都不成问题了。
4-3 把“生女孩的概率”直接作为“条件概率”来使用
下一步，是与以往一样，按照类别进行划分，之后，设定能够引起特定行为的条件概率。在本案例中，这一步是十分简单的，这是因为“类别”本身成为其条件概率。
譬如，如果一对夫妇属于p＝0.4的类别，那么，这对夫妇生女孩的条件概率便为0.4。那么，理所当然地，这对夫妇生男孩的概率则为1-0.4＝0.6。把这以计算过程用图表4-2表示出来，如下所示。
图表4-2 这对夫妇生女孩?男孩的条件概率
这些概率与以往的一样，都是“有特定原因时的结果的概率”。这里的原因是指，“生女孩容易”或“生男孩容易”的情况，而结果是指“生了女孩”或“生了男孩”。
图表4-3中分列了3种情况，将这3种情况分别再分为2种，最终总共分为6种情况。
图表4-3 六种互不相同的可能性
接下来，按照图表4-4把6种情况下的概率分别填入其中。概率与之前的计算方法相同，通过计算长方形的面积获得。虽然概率最终的表现形式是分数和小数混杂在一起，可能会看不习惯，但这样可以简化后面的计算。因此，在阅读时请予以理解。
图表4-4 六种互不相同的可能性各自的概率
4-4 第一胎已经生了女孩，因此可以排除掉“不可能的情况”
目前的事实是，这对夫妇“第一胎生了女孩”。因此，第一胎生男孩这种情况被完全排除在外，这一情况反映在图表4-5中，如下所示。
图表4-5 根据信息限定可能性
现在已知，这对夫妇所生的第一个孩子是女孩，那么可能性便从6种减少到3种。换言之，这对夫妇属于3种情况中的其中一种。接下来，与之前一样，在保持原有的比例关系的基础上，使相加之和为1，恢复到标准化条件。
（左边长方形的面积）：（中间长方形的面积）：（右边长方形的面积）
＝0.4/3:0.5/3:0.6/3
＝0.4:0.5:0.6
＝4:5:6
计算比例时，用4＋5＋6＝15这一数字来进行除法运算，使之恢复到“相加之和为1”的状态。
（左边长方形的面积）：（中间长方形的面积）：（右边长方形的面积）
＝4/15:5/15:6/15
＝4/15:1/3:2/5
根据上述比例可计算出，后验概率为：
概率为p＝0.4的后验概率＝4/15≈0.27
概率为p＝0.5的后验概率＝1/3≈0.33
概率为p＝0.6的后验概率＝2/5＝0.4
4-5 贝叶斯推理的过程总结
本讲中介绍的推理方法可用图解总结为图表4-6。
图表4-6 关于该夫妇类别的贝叶斯推理过程
从求取类别p的后验概率的过程中，我们能够明白些什么呢？只要看一看关于先验概率和后验概率的图表4-7，就能够自然而然地明白了。
图表4-7 关于该夫妇类别的贝叶斯更新
从该图解可以了解到：在生女孩之前，我们可以认为这3个类别的可能性都是对等的，概率分配均为0.33。但是，由于之后增加了“生了女孩”的信息，后验概率就变得不再对等了。p＝0.5这一概率虽然仍为0.33，但p＝0.4这一概率由0.33减少到0.27，而p＝0.6这一概率则由0.33上升到0.4。即，与在增加“生了女孩”这个信息前相比，增加“生了女孩”这个信息之后，推算结果转变为“这对夫妇生女孩相对比较容易”。
接下来，需要指出的是，在这个案例中，客观概率与主观概率实际上是混在一起的。表示类别的概率p是一个客观概率。p＝0.4的含义可以解释为：譬如由这对夫妇来投一枚硬币，正面朝上的概率为0.4，而他们抛出了结果为“女孩”，即概率为0.4的这一面。这个结果对于任何人来说，都是一个客观的概率。另一方面，先验概率和后验概率是依存于推算者心理的主观概率。其实，只要想起，最初是通过“理由不充分原理”，把先验概率设定为“对等”的事实，就很容易想通了。“只能先这么办了，暂时就先设定为对等吧”，这也意味着“概率”其实也是一种基于个人心里的想法，用“主观”本身这个词来解释这一现象，应该还是比较贴切的吧。
4-6 在计算“第二胎生女孩的概率”时，使用“期待值”
我们通过计算得到的后验概率为：
（类别p＝0.4的后验概率）＝0.27
（类别p＝0.5的后验概率）＝0.33
（类别p＝0.6的后验概率）＝0.4
以上数值为各个类别的概率，换言之，也就是“概率的概率”。数值分为3部分、内容详细，十分难得。但是，它并不能作为“第二胎生女孩的概率是多少”这个问题的答案。于是，让我们最后再来了解一下该如何回答这个问题吧。
在求“这对夫妇第二胎生女孩的概率”时，需要用到“平均值”这一概念。由于这也是概率方面的平均值，专业上把这个数值称为“期待值”。关于期待值的具体内容将会在第18讲进行详细介绍，在这里暂且用图解的方式，对其含义进行简单说明。
首先，在表示所有可能发生的情况（生了女孩的情况）的长方形中，画出填入了后验概率的图。这个图由3个长方形构成的。左边的长方形：纵向长度为类别p＝0.4、横向长度为其后验概率0.27。正中的长方形：纵向长度为类别p＝0.5、横向长度为其后验概率0.33。右边的长方形：纵向长度为类别p＝0.6、横向长度为其后验概率0.4。因此，各个长方形的面积如下：
左边的长方形→0.4×0.27＝0.108
正中的长方形→0.5×0.33＝0.165
右边的长方形→0.6×0.4＝0.24
对于这3个长方形，需要画出一个使横向长度之和与面积之和一致的长方形，即虚线长方形。这个长方形，横边的长度刚好等于1。其理由是，由于3个长方形的横边长度为各类别的后验概率，根据标准化条件进行相加，其结果为1。因此，虚线长方形的纵向边长的长度，与3个长方形的面积之和完全一致。这是“把类别平均化的数值”，即为“类别的期待值”（图表4-8）
图表4-8 计算类别的平均值
具体的计算过程如下所示：
（P的期待值）＝0.4×0.27＋0.5×0.33＋0.6×0.4
＝0.108＋0.165＋0.24
＝0.513
因此，若把这对夫妇的类别（生女孩的概率）进行平均化，则得到结果0.513。这也能够成为解释“这对夫妇第二胎生女孩的概率”的理由。在第19讲中，会针对“满足类别0≤p≤1中所有p的设定”的例子进行说明。
第4讲·小结
1．用概率设定类别，设定其先验概率（因为无法获得数据，而采用了理由不充分原理将其设定为对等）。先验概率是“概率的概率”。
2．设定条件概率（设定类别概率本身即可）。
3．通过获得的信息（生了女孩）中，排除掉所有不可能的情况。
4．关于剩余情况下的概率数值，恢复标准化条件。
5．获得有关类别的后验概率（贝叶斯逆概率）。
6．根据获得的信息，先验概率更新为后验概率（贝叶斯更新）。
7．先验概率和后验概率都是主观概率。
8．因为获得了各个类别（由概率来表现）的概率，通过将其平均化（求期待值），来求类别的平均值。这正是第二胎为女孩的概率。
练习题
答案参见此处
本文将所有的先验概率都设定为均等数值，但这似乎不太妥当。比起其他可能性，p＝0.5的可能性显然更大。因此，我们在此改变一下先前的设定，将先验概率分为以下三类：
类别p＝0.4的概率→0.2
类别p＝0.5的概率→0.6
类别p＝0.6的概率→0.2
在此条件下，求以下过程中的后验概率。
各个类别的先验概率分别为，
（a）＝（）、（b）＝（）、（c）＝（）
添加信息后的条件概率分别为，
（d）＝0.4，（e）＝（）
（f）＝0.5，（g）＝（）
（h）＝0.6，（i）＝（）
九种互不相同的情况的下，生女孩的概率分别为，
（j）＝（）×（）＝（）
（k）＝（）×（）＝（）
（l）＝（）×（）＝（）
如果将“生女孩”的三种情况下的概率进行标准化处理，那么
专栏 column 贝叶斯是何许人也？
发现贝叶斯逆概率的人，名为托马斯?贝叶斯，英国人，生于1702年，卒于1761年。贝叶斯曾在苏格兰的爱丁堡大学学习神学和数学。后来，他继承父业，成为一名牧师。
贝叶斯一边从事牧师的工作，一边研究数学。这并不奇怪。因为在当时，侍奉神职的人们当中，有不少人都在研究数学。
贝叶斯一生中仅写过一篇数学论文，题为《关于概率思考中某一问题的解法的考察》的。贝叶斯逆概率的起点就在这篇论文当中。但贝叶斯本人似乎并不是很重视这一发现，他长期将其搁置一旁，因而我们也无法清楚地知道这篇论文的执笔年份。据推测，应该是在18世纪40年代末的1748年或1749年。
将贝叶斯的发现公之于众的，是他的朋友——同为牧师的理查德?普莱斯。普莱斯受贝叶斯的亲戚所托，调查贝叶斯遗留下来的文献，并发现了前述的那篇论文。普莱斯在整理思路后，于1764年在皇家学会的《哲学纪要》上发表了这篇论文。贝叶斯逆概率自此公之于世。
然而，几乎没有人关注普莱斯的报告内容。后来，由于法国的天才数学家拉普拉斯的研究，才使得情况有所好转。拉普拉斯原本已经在天文学、物理学、数学方面取得了大量优秀成绩。在了解到贝叶斯的研究之前，他就已经写过一篇关于贝叶斯逆概率构想的较为浅显的文章。之后，他听闻普莱斯的研究，并意识到它可能会促使自己的初期研究进一步完善。1781年左右，拉普拉斯一气呵成，将贝叶斯逆概率改编为现今公式的形式。因此也可以说，贝叶斯逆概率的发现也有拉普拉斯的功劳。