2-1 计算罹患癌症的概率
本讲是通过一些容易获取客观数据的案例，对于贝叶斯推理进行说明。需要了解的重点是，理解“如果从客观的数据来考虑的话，反而会容易陷入误解之中”的问题。在这里，你会发现概率的不可思议。
下面，用医疗诊查来举例进行说明。
在医疗发达的当今社会，我们能够获得多数病症的统计数据。另外，在发觉自己出现了一定症状之前，就能够发现病情的技术也在不断发展进步。但是，依然存在一个问题：如何判断通过检查得出的“是/不是X病情”这一结果的准确性呢？
假设，你接受了一项“如果患了特定的癌症的话，结果有95％的概率为阳性的检查”，并且在之后收到了结果为阳性的报告。此时，你会判断自己患该癌症的概率为95％吗？
答案是“不会”。
如果“自己患癌症的概率真的为95％”的话，你肯定会对这个结果感到非常悲观。实际上，对此做出错误判断的人大概有很多吧。但是，从“阳性”这个结果来推断“你患了癌症的概率”，这也并不是一个特别高的数字。
在该推算中，由于是从“阳性”这一“结果”追溯到“患癌症”这一“原因”，因此可看作贝叶斯推理的典型案例。
在本讲中，我们首先进行问题的设定。以下数据是为了简化计算而假设的虚构数值，并非真实的数据。
问题设定
假设，某种特定的癌症的患病率为0.1％（0.001）。有一个简易的方法能够检查出是否患上这种癌症：患上这种癌症的人中有95％（0.95）的概率被诊断为阳性。但另一方面，健康人群也有2％（0.02）的可能性被误诊为阳性。那么，如果在这个检查中被诊断为阳性的时候，实际患上这种癌症的概率为多少呢？
2-2 根据医疗数据，设定“先验概率”
该推算的顺序，与第一讲中进行的推算顺序完全相同。因为具体事例有所区别，带给各位读者的印象可能会不太一样，因此，下文将沿袭第一讲的方式，对推算的顺序进行详细说明。
这个例子的特殊性在于，先验概率是一项客观存在的流行病学数据。第一讲中已经解释过，先验概率，是“在获得信息之前，各个类别的存在概率”。在这个案例中共有两种类别：一种是“罹患癌症的人”，另一种是“健康的人”。
正如问题设定中所述，这种癌症的罹患率为0.001，因此流行病学认为，1000人中有1人会罹患这种癌症。因此，如果要在检查前推测自己是否罹患这种癌症的话，如下面的图表2-1所示。
图表2-1 根据癌症罹患率得出的先验分布
下面，重新解释一遍该图。
该图表示的是：在接受简易检查诊断之前，判断你是否罹患了癌症的可能性。你所在的世界分为左侧表示“罹患癌症”和右侧表示“身体健康”的两个“可能世界”，而你一定处在这两个可能世界中的一个当中。所以并不知道到底属于哪一个世界，仅仅是作为推测而已。也就是说，世界分为了两个互不相同的部分（可能性分为了两种）。
但是，并非完全没有办法来推测你究竟处在哪个“可能世界”。通过流行病学数据我们知道，这种癌症的罹患率为0.001。也就是说，统计显示，1000人中有1人罹患这种癌症，所以，这可以作为判断你是否罹患该种癌症的参考。如果直接套用的话，可以推算罹患该种癌症的概率为0.001。也就是说，“你究竟属于两个可能世界中的哪一个”的问题，在没有任何个人信息的情况下，属于左侧世界的概率可被推算为0.001，属于右侧世界的概率可被推算为0.999。
2-3 以检查准确率为线索，设定“条件概率”
下一步就是设置为不同类别带来特定信息的条件概率。本例中的信息是指检查结果所呈现出的阳性及阴性。正如第一讲中所述，这一过程离不开客观数据的支撑。在本例中，就使用了与简易检查相关的客观数据。（图表2-2）
图表2-2 检查准确率的条件概率
横向阅读这张图表可知：上面一行是癌症患者的情况，检查结果呈阳性的概率为0.95。也就是说，查出患者得了癌症的概率为95％。那么误诊的概率便是1-0.95＝0.05了。这表明，每接受检查100人中，其中5人，即使身患癌症，诊断出来的结果也是阴性。
下面一行是健康者的情况，误诊为阳性的概率为2％。因此，准确诊断为阴性的概率就是1-0.02＝0.98。
从上面的图表，我们可以得知，简易检查并不是那么完善，它存在着误诊的风险。所谓的风险包含了：“身患癌症，却诊断为健康”和“很健康，却误诊为癌症”这两种情况。
这种概率，就是先前讲过的，在限定类别场合下的各个检查结果的条件概率。把各个类别作为检查结果的“原因”来看待的话，如果明确了原因（身患癌症或是健康），就可以知道结果（阳性或阴性）的概率。
上一节中共分了两个大类，根据具体信息，每个大类又被分成了两小类，如图表2-3所示。
图表2-3 四种互不相同的可能性
如图表2-3所示，你的身体内部存在四种可能性。患癌并呈现阳性（左上区域），患癌并呈现阴性（左下区域），健康状态下的阳性（右上区域）和健康状态下的阴性（右下区域）四种情况。
并且，根据各区域所表示的概率，用乘法计算，得到图表2-4。
图表2-4 四种互不相同的可能性各自的概率
2-4 检查结果呈阳性，因而排除掉“不可能的情况”
此刻，你已经了解到自己的检查结果呈阳性。而这件事又可以这么理解：你获取一项关于自己身体内部状况的信息，也就为“可能性世界”增添了新的信息。
在现实世界中，因为观察到了“阳性”这一结果，“阴性”这一结果便可以排除了。用图形表示，如图表2-5所示。
图表2-5 获得信息之后，可能性受到限定
2-5 计算罹患癌症的“贝叶斯逆概率”
在上一节中，因为观察到“阳性”这一诊断结果，因此，可能世界被限定为2个。也就是说，你所处的世界或是“癌症＆阳性”的世界，或是“健康＆阳性”的世界，只有这两种可能性。
对检查结果的观察，使得可能性从4种减少到2种。这样，概率相加之和（长方形的面积）无法为1。因此，为了恢复标准化条件，需要在保持比例关系的前提下，使“相加之和等于1”，具体如图表2-6所示。
（左边长方形的面积）：（右边长方形的面积）＝0.095:1.998
0.095＋1.998＝2.093，用这个数值来分割比率的两侧的话，可以满足标准化条件（相加之和等于1）。
图表2-6 根据标准化条件，计算后验概率
如图所示，将长方形的面积标准化处理，则为0.0454和0.9546（四舍五入，保留小数点后第四位）。请确认相加之和为1。
从这个结果可以得知，在得知“阳性”这一检查结果的情况下，罹患这种癌症的概率为4.5％左右，这便是后验概率（贝叶斯后验概率）。
2-6 贝叶斯推理过程的总结
本讲中，求癌症检查的贝叶斯逆概率的方法，可用图表2-7表示如下：
图表2-7 罹患癌症概率的贝叶斯推理过程
那么，在求罹患癌症的后验概率的过程中，我们能够发现什么呢？这个问题，也是本讲最重要的内容所在。
首先，请注意本讲开头提出的问题——“如果在准确度为95％的癌症检查中，你的检查结果呈阳性，那么，你患癌症的概率是否为95％？”答案是否定的。别说95％了，实际上只有4.5％。不过在这个意义上讲，倒不必过度悲观。
至于为何概率会如此之低，原因在于，患癌症的可能性本来就极其微小，健康人群中所占的比例远高于患癌症的人，健康人被误诊为阳性的可能性也很大，这一部分数值不能忽视。因此，即便检查结果呈阳性，也有很极大的可能性是健康人被误诊。所以，千万不要过度悲观。
不过，即便如此，也不能完全放心。关于这一点，看一看表示先验概率和后验概率的图表2-8就清楚了。
图表2-8 关于癌症检查的贝叶斯更新
通过上图我们可以看出，罹患该种癌症的概率，在尚未进行观察的情况下为0.001（先验概率）；而得知检查结果呈阳性之后，数值便发生了更新，变为约0.045（后验概率）。也就是说，概率从0.1％一下子上升到4.5％，增大了45倍。
在得知检查结果之前，该种癌症的自然发生率很低，1000人中只有1个人有可能患病；而得知检查结果呈阳性之后，概率骤然提高，20个人中就有1个人有可能患病。这绝对是不容小觑的事情。
在类似以上的推算过程中，如果想要深刻理解后验概率的话，需要每天进行练习。在阅读本书的过程中，请读者朋友们多加练习。
第2讲·小结
1．（借助流行病学数据）设定“癌症”、“健康”的先验概率。
2．设定癌症检查的敏感度。也就是设定癌症患者检查结果为阳性或阴性的条件概率，以及健康人检查结果为阳性或阴性的条件概率（使用治疗数据）。
3．由于检查结果呈“阳性”，因此暂不考虑“阴性”情况。
4．对“癌症＆阳性”的概率与“健康＆阳性”的概率数值，恢复标准化条件（保持之前的比例关系，使相加结果为1）
5．标准化条件下的“癌症＆阳性”的数值，即为检查结果为阳性的患者实际患癌的时候概率（贝叶斯逆概率）。
6．在观察检查结果后，先验概率更新为后验概率（贝叶斯更新）。
练习题
答案参见此处
假设现在是流感流行期，由于高烧而前来医院就诊的患者中，有70％患的是流感，30％患的是普通感冒。通过流感检测工具检查出来的阳性-阴性概率总结于以下表格中。
此时，通过以下步骤来推测，在流感检测工具上显示阳性时患流感的概率，以及显示阴性时未患流感的概率。
各个类别的先验概率分别为，
（a）＝（）、（b）＝（）
添加信息后的条件概率分别为，
（c）＝（）、（d）＝（）
（e）＝（）、（f）＝（）
四种互不相同的情况的概率分别为，
（g）＝（）×（）＝（）
（h）＝（）×（）＝（）
（i）＝（）×（）＝（）
（j）＝（）×（）＝（）
将观察结果为“阳性”的两种可能性的概率进行标准化处理，则
观察结果为“阳性”的情况下，患“流感”的后验概率＝（）
将观察结果为“阴性”的两种可能性的概率进行标准化处理，则
观察结果为“阴性”的情况下，患“流感”的后验概率＝（）