一、案例来源
【教材】 人教版数学选修2-1 2.2.1椭圆及其标准方程
【课时安排】 第1课时
【教学对象】 玉岩中学高二（9）班理科学生
【授课教师】 广州市萝岗区教育科研与发展中心 管国文
【上课时间】 2013-11-01-11：20～12：05
二、教学设计简介
（一）教学思维方式设计
1.知识目标
（1）椭圆的定义、焦点、焦距，椭圆的标准方程；
（2）理解并掌握椭圆的定义。
2.能力目标
（1）会选择适当的直角坐标系，并能根据椭圆的定义推导椭圆的标准方程；
（2）能根据已知条件求椭圆的标准方程，提高运用坐标法解决几何问题的能力及运算能力。
（3）通过课前学生在图板上亲自动手尝试画图与课堂上教师引导学生观察几何画板课件进而归纳出椭圆定义的过程，培养学生观察、辨析、归纳问题的能力。
3.情意目标
（1）通过自主探究、观察、辨析、归纳椭圆定义的过程，体验探究数学问题的乐趣。
（2）经历椭圆标准方程的推导、化简过程，感受数学的简洁美、对称美。
（3）通过椭圆标准方程的推导、化简过程，进一步体验坐标法的应用、感受数形结合的思想方法。
（二）教学行为方式设计
1.主动
（1）通过精心设计的11个问题，激活学生的探究兴趣，引导学生主动探究；
（2）通过问题1的猜想及其证明，让学生回顾圆上的点所满足的几何条件，为学生类比探究椭圆上的点所满足的几何条件作铺垫；
（3）通过问题2为迁移坐标系的选择方法及类比圆的标准方程求解步骤推导椭圆的标准方程奠定基础。
2.互动
通过问题3至问题8的师生互动过程，引导学生在辨析、归纳椭圆上的点所满足的几何条件基础上，类比圆的定义并给出椭圆的定义，充分展示椭圆概念的产生过程，达成本节课的知识目标，渗透情意目标。
3.能动
学生通过问题9至问题11类比圆的标准方程的推导方法推导椭圆标准方程的能动过程，达成本节课的能力目标，渗透情意目标。
三、教学实施简介
（一）创设问题情境，激活已有认知结构
探究活动 如图4.2.1，点F1是平面内的定点，圆F1的半径为定长2a，F2是圆F1内一个定点，|F1F2|=2c（c＞0），c为常数，P是圆上任意一点.过线段F2P的中点H作线段F2P的垂直平分线l交直线F1P于点M，当点P在圆F1上运动时，请思考、探究下列问题。
问题1 猜想点H的轨迹是什么？证明你的猜想。
问题2 如何求点H轨迹的标准方程？
图4.2.1
图4.2.2
图4.2.3
图4.2.4
学生1 当点P在圆F1上运动时，点H的轨迹是圆。
教师追问 你能确定圆心的位置吗？
学生1 如图4.2.2，因为F1，F2是定点，所以线段F1F2是定线段，线段F1F2的中点O也是定点。
学生1给出问题1证明1 如图4.2.3，连接F1F2，取F1F2的中点O，连接OH，
所以平面内动点H到定点O的距离等于定长a.（圆上的点所满足的几何条件）
所以点H的轨迹是圆。
教师追问 还有其他解法吗？
学生2给出问题1证明2 以经过两定点F1，F2的直线为x轴，以定点F1为原点，建立平面直角坐标系xOy，则F1（0，0），F2（2c，0），圆F1的方程为x2+y2=4a2，设P（x1，y1），H（x，y），
所以，点H的轨迹是以（c，0）为圆心，以a为半径的圆。
教师 如图4.2.4，
（1）以经过两定点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy. 设H（x，y）是圆上的任意一点。
（2）由圆的定义，圆就是集合P={H||HO|=a。
（4）将上式两边平方，得x2+y2=a2。
①
（5）从上述过程可以看到，圆上任意一点的坐标都满足方程①，以方程①的解（x，y）为坐标的点到圆心O的距离为a，即以方程①的解为坐标的点都是在圆上，由曲线与方程的关系可知，方程①是圆的方程。
小结 求曲线方程的一般步骤详见教材第36页。
（1）建系、设点；
（2）写点集；
（3）列方程；
（4）化简方程；
（5）说明.
简称：“建设（写）列化（说）”。
教师活动
1.教师出示问题1 后，先让学生独立思考、猜想点H的轨迹是什么？
2.教师演示几何画板课件，启发、引导学生观察、猜想、证明。让学生给出猜想结论的口述证明，教师板书学生的证明。
3.教师提示学生先阅读教材第36页求曲线方程的一般步骤后再让一个学生回答问题2，在学生回答的基础上，教师补充、小结。
学生活动
1.学生独立思考、猜想并给出猜想（1）的证明。
2.学生在阅读教材第36页求曲线方程的一般步骤后，独立思考并回答问题2。
设计意图
1.通过探究活动，激活学生已有认知结构，为本节课提供学习策略与方法。
2.通过问题1的猜想及其证明，让学生回顾圆上的点所满足的几何条件，为学生类比探究椭圆上的点所满足的几何条件作铺垫。
3.通过问题2为迁移坐标系的选择方法及类比圆的标准方程求解步骤推导椭圆的标准方程奠定基础。
（二）辨析、归纳，建构椭圆概念
问题3 点M运动时，|MF1|，|MF2|，|MF1|+|MF2|，哪个是变化的？哪个是不变的？为什么？
图4.2.5
学生3 观察图4.2.5可知，|MF1|，|MF2|是变化的，由图1，
因为|MF1|+|MF2|=|MF1|+|MP|=|F1P|=2a=常数。
所以|MF1|+|MF2|不变。
问题4 点M运动时，比较|MF1|+|MF2|与|F1F2|的大小。
学生4 |MF1|+|MF2|＞|F1F2|，即2a＞2c。
问题5 满足条件|MF1|+|MF2|=|F1F2|的点M存在吗？
学生5 点M在线段F1F2上。
问题6 满足条件|MF1|+|MF2|＜|F1F2|的点M存在吗？
学生6 点M不存在。
问题7 在对问题3至问题6思考的基础上，归纳点M运动轨迹所满足的几何条件。
学生7 |MF1|+|MF2|=|F1P|=2a=常数，且|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，即2a＞2c。
问题8 类比圆的定义，请给点M的运动轨迹下定义。
学生8 椭圆定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫作椭圆。
巩固概念 用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。
（1）平面内，到F1（－2，0），F2（2，0）的距离之和为6的点的轨迹。（是）
（2）平面内，到F1（0，－2），F2（0，2）的距离之和为4的点的轨迹。（否）
（3）平面内，到F1（－2，0），F2（2，0）的距离之和为3的点的轨迹。（否）
深化概念 1.平面内.2.若|MF1|+|MF2|＞|F1F2|，则点M的轨迹为椭圆；若|MF1|+|MF2|=|F1F2|，则点M的轨迹为线段；若|MF1|+|MF2|＜|F1F2|，则点M的轨迹不存在。
设计意图 通过问题3至问题8引导学生在辨析、归纳椭圆上的点所满足的几何条件基础上，类比圆的定义给出椭圆的定义，充分展示椭圆概念的产生过程。
（三）类比推导椭圆的标准方程
问题9 如图4.2.5，已知椭圆的焦距|F1F2|=2c，（c＞0），椭圆上的动点M到两焦点F1，F2的距离之和为2a，求椭圆的方程。
图4.2.6
图4.2.7
教师 ①建系、设点：如图4.2.6，以经过椭圆两个焦点F1，F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c＞0），那么焦点F1，F2的坐标分别为F1（－c，0），F2（c，0）。
②写点集：由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}。
两边平方，得a4－2a2cx+c2x2=a2（x－c）2+a2y2。
整理，得（a2－c2）x2+a2y2=a2（a2－c2），
由椭圆的定义可知，2a＞2c，即a＞c，所以a2－c2＞0。
⑤说明：从上述过程可以看到，椭圆上任意一点的坐标都满足方程②，以方程②的解（x，y）为坐标的点到椭圆的两个焦点F1（－c，0），F2（c，0）的距离之和为2a，即以方程②的解为坐标的点都在椭圆上，由曲线与方程的关系可知，方程②是椭圆的方程，我们把它叫作椭圆的标准方程.它的焦点在x轴上，两个焦点分别是F1（－c，0），F2（c，0），c2=a2－b2。
问题11 如图4.2.8，已知椭圆的焦距|F1F2|=2c，（c＞0），椭圆上的动点M到两焦点F1，F2的距离之和为2a，求椭圆的方程。
图4.2.8
图4.2.9
（四）例题研讨，变式训练
例题 已知椭圆焦点的坐标分别是（-4，0），（4，0），椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10，求椭圆的标准方程。
（五）达标检测题
1.写出适合下列条件的椭圆标准方程。
①a=3，b=1，焦点在x轴上。
④a+c=10，a－c=4。
（六）归纳小结，形成知识结构
在小结回顾本节课所学内容的基础上填写表4.2.1
表4.2.1
续表
四、评析
本节课按照萝岗区倡导的“六要素”教学方式，设计了比较恰当的符合玉岩中学学生实际的知识、能力、情意目标。学生在教师组织、引导下的主动、能动、互动过程，向听课者诠释了新课程的教学理念与教学要求，有效地达成了本节课的教学目标。
本节课的第一个亮点是通过精心设计的11个问题，引导学生在独立思考、探究的前提下自主建构椭圆概念，通过类比圆的标准方程推导过程引导学生自主推导椭圆的标准方程；
本节课的第二个亮点是《几何画板》课件很直观地演示了椭圆的生成过程，有效地促进了学生对椭圆概念的自主构建，教师通过演示课件启发、引导学生在课堂上自主探究、合作学习，有效地突破了教学难点；
本节课的第三个亮点是全体学生都能在11个问题驱动下积极主动地参与教学过程，思维参与度高，不仅积极主动、互动过程中还有能动的可喜表现，例如：学生1给出了问题1证明一，学生2给出了问题1证明二，二人的准确回答赢得了全班学生自发而热烈的掌声。
“没有最好的课，只有更好的课”。管老师本节课的遗憾之处是：“创设问题情境，激活已有认知结构”环节占用的教学时间较多，主要原因是玉岩中学的教学平台不方便教学。