一百多年前，爱因斯坦发表了广义相对论。这里的“广义”指的是该理论比狭义相对论能解释的情况更广泛。

狭义相对论描述了不太重的单一物体如何穿过真空。具体来说，该理论称没什么能运动得比光快。而广义相对论还能描述不同的物体是如何通过引力相互吸引的。经研究，引力不仅仅对狭义相对论提出了挑战，而且导致该理论改头换面、焕然一新，这当属爱因斯坦的伟大成就！永远不变的空间和绝对的时间，这两个概念得就此彻底作废。而且这还是在250多年前牛顿铭刻在世世代代科学家的潜意识中的概念。

弯曲的时空：这是怎么回事？

广义相对论声称，许多物质，如恒星，都会弯曲空间和时间。最终，如果另一个物体，如行星，闯入这个弯曲时空，它的运动轨迹就会变得扭曲；恒星和行星之间的引力就会导致这样的现象出现。可这里的“弯曲”究竟是什么意思呢？弯曲的空间“长什么样子”？我们如何才能意识到我们其实正在一个弯曲空间中运动呢？另外更神秘的是，弯曲的时间是什么东西？其实这一切都不是三言两语就能解释明白的。顺便提一句，在爱因斯坦真正需要公式来表述他的理论之前不久，弯曲空间的数学运算就已经完全被研究出来了。德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯想出了如何描述曲面，如地球的表面（这也是他需要做的事，因为他还是一个土地测量师）。后来，他的学生波恩哈德·黎曼彻底解决了任意维（不只是二维曲面）的弯曲空间的数学运算问题。

二维世界的弯曲

我们首先来看看二维曲面。对于曲面几何，特别是平面的几何学，希腊人非常感兴趣：他们将线、角、圆和三角的科学视为数学中的主要知识领域。其中一个希腊人欧几里得问自己：“究竟什么是平面？”这个问题引他想出了他的著名公设，前四条公设确立了平面之意义的基础：1）平面中有点，两点连接可以画出一条线段；2）任何线段两端都可以无限延长，成为一条直线；3）以任何线段一端的端点为圆心都可以画出一个圆，另一端的端点则在圆上；4）凡直角都相等。

欧氏几何公理

结果我们发现，只利用这四条公设就可以在几何学上展开许多探索。但还有一个问题：三角形中三角之和为180度，这是众所周知的事实，用这四条公设却无法证明。因此，我们需要增加第五条公设：5）两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小于两个直角，则两直线在该侧充分延长后一定会相交。

是不是听到这条公理觉得糊里糊涂的？欧几里得也觉得困惑不解，于是他和他之后的数学家们要么尝试着不使用第五条公理，要么努力证明第五条公理是前四条的结果，因此人们应该排除第五条。然而他们都失败了。今天，我们终于知道原因：世界上存在一类空间，那里仅适用前四条公设，不适用第五条公设！这类空间也被称为“非欧空间”，它们与平面的不同在于，三角形的三个角之和不一定是180度（或者用欧几里得的话来说，不一定等于“两个直角”）。原因在于这些空间是弯曲的。

三角形及其各角：曲率的指示物

事实上，通常来说，曲率的本质就是：三角形各角的角度相加不等于180度。以下便是一个可以让你证明地球的表面是曲面的方法：如果你人在纽约，想一下罗马和伦敦的方向。写下这两个方向之间夹角的角度。然后你去罗马（或者让住在那儿的人帮忙）测量一下从罗马分别到纽约和伦敦的两个方向的夹角角度。同样，还要测出从身在伦敦之人的视角看分别去罗马和纽约两地方向的夹角角度。如果你把测得的这三个角度加起来，你大概会得到250度！这是因为三角形的三个角分别位于纽约、伦敦和罗马，这三个地方都在地球的表面上，而地球的表面是曲面！准确地说，地球的曲率是正的，所以我们才得到了大于180度的结果。世界上还有负曲率空间，那里三角形的三角角度之和则小于180度。

地球的表面是二维的。这意味着要想确定地球表面的一点，我们需要两个数字，即经度和纬度。另外，我们的时空是四维的：要想描述一个事件得需要四个数字。举例来说，我们可以用纬度、经度和距地面高度（三个数字）描述地点，用钟表上的时间（一个数字）描述事件发生的时间。

四维的曲率：这么多角！

要描述四维时空的曲率，用的词恐怕要比“正曲率”和“负曲率”复杂得多。这是因为我们有许多不同的方法将一个（二维）三角形放在（四维）时空中。你可以选择的方向更多了。所以高维度几何（如广义相对论）中的公式相当冗长繁复。

当一个人讲起广义相对论的故事，常常会被问到一个问题：“如果时空是弯曲的，它弯曲成了什么样子呢？”地球的二维曲面有着正曲率，但地球本身处在三维的空间里。如果你可以利用这点，那地球就没有曲率可言了：如果你计算的并非乘船分别到达伦敦和罗马所形成的夹角，而是直接凿穿地球到达两地形成的夹角，那你采用的就是一个三维空间中的三角形。这样测量出的三个角角度之和实际上（几乎）就是180度。所以这个曲面的曲率只不过是“偶然的”，因为地球是三维空间的一部分。如果四维时空是弯曲的，它又会弯曲成什么样呢？

时空弯曲成什么样子？

答案是，不是任何固定的样子！关于曲率，有一点很重要：它有两类。其中一类叫“外在曲率”。空间有外在曲率是因为它被嵌在一个更大的空间里，就像地球的曲面被嵌在一个三维空间里一样。另一类叫“固有曲率”，它是空间本身的几何学属性。只可惜，二维曲面有一个特殊属性，即它的外在曲率和固有曲率始终是完全一致的：你没办法通过把曲面放到三维空间中“生成”什么固有曲率。因此以地球的曲面为例很难解释二者的区别。但有一个例子可以解释，四维曲面有固有曲率。

固有曲率和外在曲率

想象固有曲率和外在曲率的区别的一个方法是想象一个平面上的圆：这个圆是一维的，所有一维的物体都不可能有固有曲率（大体上就是因为你无法把三角形放进去，来计算角度之和）。特别是，一个一维世界的观察者在圆内运动时，他将只知道自己在做向前或向后的运动，而不会意识到自己是在绕着圆圈跑，因为它没有“侧面”的概念。所以这里没有固有曲率。但我们作为外部的观察者，可以看到圆是弯曲的——所以它有外在的曲率。

顺便说一下，三维空间和四维时空的情况也是类似的。三维空间（宇宙）至少在大距离的平均范围内是扁平的。这意味着，我们作为三维世界的居民，看不到任何曲率。想象一个三角形，三个顶点分别是地球、仙女星系和大麦哲伦星云，其角度相加将达到180度，但整个时空的内里其实是弯曲的。在某个时间点上（大爆炸之后），三维宇宙又是四维时空的一部分，这就是为什么宇宙有外在曲率——我们认为这等同于宇宙随着时间的推移而膨胀的事实。